インターネットに常時接続している全部、または一部のディスクスペースを貸し出して、そのサーバーの運用や、メンテナンスなど、サーバー環境を提供するサービス（別名：ホスティング）のことをレンタルサーバーといいます。
要は、ホームページというお店を運営するための店舗を貸し出してくれているということです。
「自社サーバー」と呼ばれる、自社でサーバー本体を購入し、電源や回線等の設備を整えて運用することもありますが、この場合は、サーバーの障害に24時間体制での監視が求められたりするため、コストはかなり大きくなります。大規模なサイトを運営する予定がなければ、運用から管理、セキュリティ対策までをトータルで行ってくれるレンタルサーバの利用で十分まかなえるかと思います。
レンタルサーバを選ぶ際には、稼働率であったり、サポート内容といった部分を重視してください。ページの読み込みにいつも時間がかかるなどという重たいサイトは、お客さん（閲覧者）にストレスを与えますし、下手をするとページを閉じられてしまうかもしれません。ですので、ある程度の品質を保ったサーバを利用することをおすすめします。